Question

已知底面是矩形的四棱锥P-ABCD，PA⊥底面AC，E是PD的中点，F是AB的中点，以PB为直径的球的面积为4π，PA=1，二面角P-DC-B的大小是45°．
（1）求证：AE⊥CD；AE∥面PCF；
（2）求证：点E在以PB为直径的球面上．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,空间两点间的距离公式,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由已知得PA⊥CD，CD⊥AD，从而CD⊥AE，取PC的中点G，连结EG，FG，则四边形AEGF是平行四边形，由此能证明AF∥面PCF．
（2）由（1）知CD⊥面PAD，故∠PDA是二面角P-DC-B的平面角，∠PDA=45°，取PB中点M，连结ME、BD，由此利用已知条件能证明E点在以PB为直径的球面上．

解答： 证明：（1）∵PA⊥面AC，CD?面AC，∴PA⊥CD，
又ABCD是菱形，∴CD⊥AD，
∵AD∩PA=A，∴CD⊥平面PAD，AE?平面PAD，
∴CD⊥AE，
取PC的中点G，连结EG，FG，
∵E、F分别是PD、AB的中点，
∴EF

∥

.

AF，∴四边形AEGF是平行四边形，
∴AE∥FG，∵面FG?面PCF，AF不包含面PCF，
∴AF∥面PCF．
（2）由（1）知CD⊥面PAD，故∠PDA是二面角P-DC-B的平面角，
∴∠PDA=45°，
∴PA=AD=1，AE⊥PD，E为PD中点，
取PB中点M，连结ME、BD，则ME=

1

2

BD，
由条件得4π(

BP

2

)2=4π，∴BP=2，
∵PA⊥面AC，AB?面AC，∴PA⊥AB，△PAB为直角三角形，
∴AB=

PB2-PA2

=

3

，
在Rt△ABD中，BD=

AB2+AD2

=2，
∴ME=

1

2

BD=1=

PB

2

，
∴E点在以PB为直径的球面上．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查点在球面上的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．