Question

已知f（x）=2cos（π-x）cos（

π

2

+x）+sin2xtanx．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的值域．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：计算题,三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）运用二倍角的正弦和余弦公式，以及两角差的余弦公式，将f（x）化简成f（x）=1+

2

sin（2x-

π

4

），即可求出周期；
（2）根据函数的定义域和化简得到的函数解析式，以及正弦函数的值域，即可得到f（x）的值域．

解答： 解：（1）由条件得，函数的定义域是{x|x≠kπ+

π

2

，k∈Z}，
∵f（x）=2（-cosx）（-sinx）+2sinxcosx•

sinx

cosx

=2sinxcosx+2sin²x=sin2x+1-cos2x=1+

2

sin（2x-

π

4

）
∴f（x）的最小正周期为T=

2π

2

=π；
（2）当x=kπ+

π

2

，k∈Z，时，f（x）=

2

•

2

2

=1=2，
∴在x≠kπ+

π

2

，k∈Z，下，1-

2

≤f（x）≤1+

2

，且f（x）≠2，
∴f（x）的值域为[1-

2

，2）∪（2，1+

2

]．

点评：本题考查三角函数的化简和求值，同时考查三角函数的性质，注意函数的定义域，记熟三角公式是迅速解题的关键．