Question

若m∈R，方程x³-3x+m=0在区间[0，1]上不等的实根（　　）

• A、有3个
• B、有2个
• C、没有
• D、至多有一个

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：将方程转化为x³-3x=-m，构造函数f（x）=x³-3x，利用导数判断函数f（x）的单调性，利用数形结合即可得到结论．

解答： 解：由x³-3x+m=0得x³-3x=-m，
设f（x）=x³-3x，则函数的导数为f′（x）=3x²-3，
由f′（x）＞0，解得x＞1或x＜-1，此时函数单调递增，
由f′（x）＜0，解得-1＜x＜1，此时函数单调递减，
即当x∈[0，1]时，函数单调递减，
则f（1）≤f（x）≤f（0），
即-2≤f（x）≤0，
若-m＞0或-m＜-2，即m＞2或m＜0时，方程x³-3x=-m无解，
若-2≤-m≤0，即0≤m≤2时，x³-3x=-m只有1个解，
综上方程x³-3x+m=0在区间[0，1]上不等的实根至多有一个，
故选：D．

点评：本题主要考查三次方程根的求解，利用三次函数的图象和性质，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．