Question

点A、点B分别是平面α和平面β内的定点，且直线AB与平面α成30°角，直线l过点A且与直线AB成60°角，直线l交平面α于点C，则动点C在（　　）

• A、椭圆上
• B、圆上
• C、双曲线上
• D、抛物线上

Answer 1

考点：平面与平面之间的位置关系,双曲线的定义

专题：空间位置关系与距离

分析：当平面只与圆锥面一侧相交，且过圆锥顶点，结果退化为一个点；当平面与圆锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线的一支（另一支为此圆锥面的对顶圆锥面与平面的交线）．

解答： 解：∵AC  AB夹角恒定，
∴所有可能的AC构成一个以AB为中轴线 A为顶点的双圆锥，
∵直线AB与平面α成30°角，把圆锥斜着拿去与平面相交，
当平面与圆锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线的一支，
另一支为此圆锥面的对顶圆锥面与平面的交线，
∴动点C在双曲线上．
故选：C．

点评：当平面与圆锥面的母线平行，且不过圆锥顶点，结果为抛物线；当平面与圆锥面的母线平行，且过圆锥顶点，结果退化为一条直线；当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，结果为椭圆；当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，并与圆锥面的对称轴垂直，结果为圆；当平面只与圆锥面一侧相交，且过圆锥顶点，结果退化为一个点；当平面与圆锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线的一支（另一支为此圆锥面的对顶圆锥面与平面的交线）；当平面与圆锥面两侧都相交，且过圆锥顶点，结果为两条相交直线．