Question

【题目】如图，在棱长为2的正方体OABC﹣O′A′B′C′中，E，F分别是棱AB，BC上的动点．
（1）当AE=BF时，求证A′F⊥C′E；
（2）若E，F分别为AB，BC的中点，求直线O′B与平面B′EF所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：以CC'为z轴，CO为x轴，CB为y轴建立空间直角坐标系，如图所示，

设F（0，y，0），∵AE=BF，∴BE=CF，∴E（y，2，0），

又A′（2，2，2），C′（0，0，2），

∴ =（﹣2，y﹣2，﹣2）， =（y，2，﹣2），

∵ =﹣2y+2y﹣4+4=0，

∴ ⊥ ，∴A′F⊥C′E

（2）证明：解：E（1，2，0），F（0，1，0），B'（0，2，2），

， =（0，1，2），

设平面B'EF的法向量为 ，

则 ，取x=2，则z=1，y=﹣2，

又O′（2，0，2），B（0，2，0）， =（﹣2，2，﹣2），

设O′B与平面B′EF所成的角为θ，

则sinθ=|cos＜ ， ＞|= = ，

即直线O′B与平面B′EF所成角的正弦值为 ．

【解析】（1）以CC'为z轴，CO为x轴，CB为y轴建立空间直角坐标系，利用向量法能证明A′F⊥C′E．（2）求出平面B'EF的法向量和 ，利用向量法能求出直线O′B与平面B′EF所成角的正弦值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解空间中直线与直线之间的位置关系的相关知识，掌握相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点，以及对空间角的异面直线所成的角的理解，了解已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则．