Question

【题目】已知函数f（x）=log2 （a为常数）是奇函数．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若当x∈（1，3]时，f（x）＞m恒成立．求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f（x）=log2 是奇函数，
∴f（﹣x）=﹣f（x），
∴log2 =﹣log2 ，即log2 = ，
∴a=1，
（Ⅱ）由题意：m＜log2 在x∈（1，3]时恒成立．
设1＜x1＜x2≤3，
∴g（x1）﹣g（x2）= ﹣ = ，
∵x2﹣x1＞0，x1﹣1＞0，x2﹣1＞0，
∴g（x1）﹣g（x2）＞0，
∴g（x）在（1，3]上为减函数，
∴f（x）=log2g（x）在（1，3]上为减函数上为减函数．
当x=3时，f（x）有最小值，即f（x）min=1，
故m＜1．
【解析】（Ⅰ）根据奇函数的性质即可求出a的值，（Ⅱ）先判读函数f（x）的单调性，再求出最值即可得到m的取值范围．