Question

【题目】如图，经过B（1，2）作两条互相垂直的直线l1和l2 ， l1交y轴正半轴于点A，l2交x轴正半轴于点C．

（1）若A（0，1），求点C的坐标；
（2）试问是否总存在经过O，A，B，C四点的圆？若存在，求出半径最小的圆的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由直线l1经过两点A（0，1），B（1，2），得l1的方程为x﹣y+1=0．

由直线l2⊥l1，且直线l2经过点B，得l2的方程为x+y﹣3=0．

所以，点C的坐标为（3，0）

（2）解：因为AB⊥BC，OA⊥OC，所以总存在经过O，A，B，C四点的圆，且该圆以AC为直径．

①若l1⊥y轴，则l2∥y轴，此时四边形OABC为矩形， ．

②若l1与y轴不垂直，则两条直线斜率都存在．不妨设直线l1的斜率为k，则直线l2的斜率为 ．

所以直线l1的方程为y﹣2=k（x﹣1），从而A（0，2﹣k）；

直线l2的方程为 ，从而C（2k+1，0）．

令 解得 ，注意到k≠0，所以 ．

此时|AC|2=（2﹣k）2+（2k+1）2=5k2+5＞5， ，

所以半径的最小值为 ．

此时圆的方程为

【解析】（1）先求l1的方程，进而可求l2的方程，即可得到点C的坐标；（2）因为AB⊥BC，OA⊥OC，所以总存在经过O，A，B，C四点的圆，且该圆以AC为直径，分类讨论，确定A、C的坐标，表示出AC，即可求得结论．
【考点精析】认真审题，首先需要了解直线的斜率(一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是 k = tanα)，还要掌握圆的标准方程(圆的标准方程：；圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程)的相关知识才是答题的关键．