Question

已知函数f（x）=xlnx+ax（a∈R）．
（1）若a=0，求f（x）的最小值；
（2）若对任意x∈[1，+∞），都有f（x）≥-1成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当a=0时，求函数的定义域以及导数．利用导数研究函数的极值和最值．
（2）将条件f（x）≥-1成立，转化为最值恒成立，利用导数求最大值或最小值．

解答：解：f（x）的定义域为（0，+∞）．                                         …1分
（Ⅰ）当a=0时，f（x）=xlnx，f'（x）=1+lnx．                               …2分
令f'（x）＞0，解得x＞

1

e

；
令f'（x）＜0，解得0＜x＜

1

e

．
从而f（x）在(0，

1

e

)单调递减，在(

1

e

，+∞)单调递增．
所以，当x=

1

e

时，f（x）取得最小值-

1

e

．                                      …4分
（Ⅱ）解：依题意，得f（x）≥-1在[1，+∞）上恒成立，即f（x）=xlnx+ax≥-1成立，
即不等式a≥-(lnx+

1

x

)对于x∈[1，+∞）恒成立．
设g(x)=lnx+

1

x

，则g′(x)=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

．
当x＞1时，因为g′(x)=

x-1

x2

＞0，
故g（x）在[1，+∞）上是增函数，
所以 g（x）的最小值是g（1）=1，从而-g（x）的最大值是-g（1）=-1． …8分
所以a的取值范围是[-1，+∞）．

点评：本题的考点是利用导数研究函数的单调性以及求函数的最值．不等式恒成立问题常常是转化为最值恒成立去解决．