Question

（2007•武汉模拟）在一个单位中普查某种疾病，600个人去验血，对这些人的血的化验可以用两种方法进行：
方法一：每个人的血分别化验，这时需要化验600次；
方法二：把每个人的血样分成两份，取k（k≥2）个人的血样各一份混在一起进行化验，如果结果是阴性的，那么对这k个人只作一次检验就够了；如果结果阳性的，那么再对这k个人的另一份血样逐个化验，这时对这k个人共需作k+1次化验．
假定对所有的人来说，化验结果是阳性的概率是0.1，而且这些人的反应是独立的．将每个人的血样所需的检验次数作为随机变量ξ．
（1）写出方法二中随机变量ξ的分布列，并求数学期望Eξ（用k表示）；
（2）现有方法一和方法二中k分别取3、4、5共四种方案，请判断哪种方案最好，并说明理由．（参考数据：取0.9³=0.729，0.9⁴=0.656，0.9⁵=0.591）

Answer 1

分析：（1）对于方法二，当k个人一组的混合血液呈阴性时，可以认为每个人需要化验的次数为

1

k

次；当k个人一组的混合血液呈阳性时，可以认为每个人需要化验的次验为

1

k

+1次，然后分别求出相应的概率，利用数学期望公式解之即可；
（2）对方法一：P（ξ=1）=1    Eξ=1，然后计算出方法二中k分别取3、4、5时的数学期望，比较四种方案即可判定哪种方案最好．

解答：解：（1）对于方法二，k个人一组的混合血液呈阴性结果的概率为0.9^k，呈阳性结果的概率为1-0.9^k．
当k个人一组的混合血液呈阴性时，可以认为每个人需要化验的次数为

1

k

次；当k个人一组的混合血液呈阳性时，可以认为每个人需要化验的次验为

1

k

+1次．
所以（3分）

ξ	1 k	1+ 1 k
P	0.9k	1-0.9k

∴Eξ=

1

k

×0.9k+(1+

1

k

)(1-0.9k)=1+

1

k

-0.9k．（5分）
（2）对方法一：P（ξ=1）=1    Eξ=1．（6分）
当k=3时，Eξ=1+

1

3

-0.93≈0.604；
当k=4时，Eξ=1+

1

4

-0.94≈0.597；
当k=5时，Eξ=1+

1

5

-0.95≈0.609．（9分）
比较知k=4时的方案最好（10分）

点评：本题主要考查了数列的应用，同时考查了离散型变量的数学期望以及计算能力，属于中档题．