Question

给出下列命题：①存在实数α，使sinαcosα=1；
②存在实数α，使sinα+cosα=

3

2

；
③y=sin(

5π

2

-2x)是偶函数；
④x=

π

8

是函数y=sin(2x+

5π

4

)的一条对称轴方程．
其中正确命题的序号是

 

Answer 1

分析：根据二倍角公式得到sinαcosα=

1

2

sin2α，结合正弦函数的值域可判断①；
根据两角和与差的正弦公式可得到sinα+cosα=

2

sin(α+

π

4

）结合正弦函数的可判断②；
根据诱导公式得到y=sin(

5π

2

-2x)=sin（

π

2

-2x）=cos2x，再由余弦函数的奇偶性可判断③；
将x=

π

8

代入到y=sin（2x+

5π

4

）得到sin（2×

π

8

+

5π

4

）=sin

3π

2

=-1，根据正弦函数的对称性可判断④．

解答：解：∵sinαcosα=

1

2

sin2α=1∴sin2α=2，与正弦函数的值域矛盾，故①不对；
∵sinα+cosα=

2

sin(α+

π

4

）≤

2

＜

3

2

，从而可判断②不对；
∵y=sin(

5π

2

-2x)=sin（

π

2

-2x）=cos2x，为偶函数，故③正确；
将x=

π

8

代入到y=sin（2x+

5π

4

）得到sin（2×

π

8

+

5π

4

）=sin

3π

2

=-1，
故x=

π

8

是函数y=sin(2x+

5π

4

)的一条对称轴方程，故④正确．
故答案为：③④．

点评：本题主要考查二倍角公式、两角和与差的公式、诱导公式和三角函数的对称性．考查三角函数公式的综合应用．三角函数的公式比较多，很容易记混，平时要注意积累．