Question

17．设数列{a_n}的前n项和S_n，S_n=2a_n+λn-4（n∈N⁺，λ∈R），且数列{a_n-1}为等比数列．
（Ⅰ）求实数λ的值，并写出数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）（i）判断数列{$\frac{1}{{a}_{n}-1}$$-\frac{1}{{a}_{n}}$}（n∈N⁺）的单调性；（ii）设b_n=$\frac{（-1）^{n-1}}{{a}_{n}}$，数列{b_n}的前n项和为T_n，证明：T_2n＜$\frac{2}{9}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由S_n+1-S_n易得a_n+1=2a_n-λ，所以a_n+1-1=2a_n-λ-1=$2（{a}_{n}-\frac{λ+1}{2}）$，又数列{a_n-1}为等比数列，得λ=1．从而a_n-1=2ⁿ，则a_n=1+2ⁿ；
（Ⅱ）（i）作差$\frac{1}{{a}_{n}-1}$$-\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n}（{a}_{n}-1）}$=$\frac{1}{（{2}^{n}+1）{2}^{n}}$即得结论；
（ii）由b_n=$\frac{（-1）^{n-1}}{{a}_{n}}$=$\frac{（-1）^{n-1}}{{2}^{n}+1}$，可知T_2n=（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+（$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{17}$）+…+（$\frac{1}{{2}^{2n-1}+1}$-$\frac{1}{{2}^{2n}+1}$），利用$\frac{1}{{2}^{2n-1}+1}$-$\frac{1}{{2}^{2n}+1}$＜$\frac{1}{{2}^{2n-1}}$-$\frac{1}{{2}^{2n}}$=$\frac{1}{{2}^{2n}}$=$\frac{1}{{4}^{n}}$，将其放缩即可．

解答 解：（Ⅰ）由S_n=2a_n+λn-4，得S_n+1=2a_n+1+λ（n+1）-4，
两式相减得a_n+1=2a_n+1-2a_n+λ，
即a_n+1=2a_n-λ，
所以a_n+1-1=2a_n-λ-1=$2（{a}_{n}-\frac{λ+1}{2}）$，
又数列{a_n-1}为等比数列，
所以$\frac{λ+1}{2}=1$，即λ=1．
所以a₁=3，a₁-1=2，
所以a_n-1=2ⁿ，
故数列{a_n}的通项公式为：a_n=1+2ⁿ；
（Ⅱ）（i）∵$\frac{1}{{a}_{n}-1}$$-\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n}（{a}_{n}-1）}$=$\frac{1}{（{2}^{n}+1）{2}^{n}}$，
又2ⁿ，2ⁿ+1单调递增，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}-1}$$-\frac{1}{{a}_{n}}$}（n∈N⁺）为单调递减数列；
（ii）∵b_n=$\frac{（-1）^{n-1}}{{a}_{n}}$=$\frac{（-1）^{n-1}}{{2}^{n}+1}$，
∴T_2n=b₁+b₂+…+b_2n
=（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+（$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{17}$）+…+（$\frac{1}{{2}^{2n-1}+1}$-$\frac{1}{{2}^{2n}+1}$），
由（i）得$\frac{1}{{a}_{2n-1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{2n-1}}$＞$\frac{1}{{a}_{2n}-1}$-$\frac{1}{{a}_{2n}}$，
即$\frac{1}{{2}^{2n-1}}$-$\frac{1}{{2}^{2n-1}+1}$＞$\frac{1}{{2}^{2n}}$-$\frac{1}{{2}^{2n}+1}$，
所以$\frac{1}{{2}^{2n-1}+1}$-$\frac{1}{{2}^{2n}+1}$＜$\frac{1}{{2}^{2n-1}}$-$\frac{1}{{2}^{2n}}$=$\frac{1}{{2}^{2n}}$=$\frac{1}{{4}^{n}}$，
所以T_2n＜（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+（$\frac{1}{{4}^{2}}$+$\frac{1}{{4}^{3}}$+…+$\frac{1}{{4}^{n}}$）
=（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+$\frac{\frac{1}{16}（1-\frac{1}{{4}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{4}}$
＜$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{12}$=$\frac{13}{60}$＜$\frac{2}{9}$．

点评 本题考查了递推式的应用、“裂项求和”以及放缩法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．