Question

如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，|AB|=2，|AC|=

3

2

，点A，B关于y轴对称．一曲线E过C点，动点P在曲线E上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变．
（1）求曲线E的方程；
（2）已知点S(0，-

3

)，T(0，

3

)，求∠SPT的最小值；
（3）若点F(1，

3

2

)是曲线E上的一点，设M，N是曲线E上不同的两点，直线FM和FN的倾斜角互补，试判断直线MN的斜率是否为定值，如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设P（x，y），由|PA|+|PB|=|CA|+|CB|=

3

2

+

( 3 2 )2+4

=4＞2=|AB|，知动点P的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，且a=2，c=1，b=

3

，由此能求出曲线E的方程．
（2）设P（x₀，y₀）是曲线E上的任意一点，则有

x02

4

+

y02

3

=1，y02=3(1-

x02

4

)．由椭圆的对称性设点P在y轴右侧，即0＜x₀≤2，则kPS=

y0+ 3

x0

，kPT=

y0- 3

x0

，由到角公式得tan∠SPT=

kPS-kPT

1+kPS•kPT

=

y0+ 3 x0 - y0- 3 x0

1+ y0+ 3 x0 • y0- 3 x0

=

2 3 x0

x02+y02-3

=

2 3 x0

x02- 3 4 x02

=

8 3

x0

＞0．由此能求出∠SPT的最小值．
（3）由M，N是曲线E上不同的两点，设直线FM的方程为y=k(x-1)+

3

2

．由

y=k(x-1)+ 3 2 x2 4 + y2 3 =1

得（4k²+3）x²-4k（2k-3）x+4k²-12k-3=0．由此能够推导出直线MN的斜率为定值．

解答：解：（1）设P（x，y），∵|PA|+|PB|=|CA|+|CB|=

3

2

+

( 3 2 )2+4

=4＞2=|AB|…（1分）
∴动点P的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，且a=2，c=1，b=

3

…（2分）
∴动点P的轨迹方程即曲线E的方程为

x2

4

+

y2

3

=1…（3分）
（2）设P（x₀，y₀）是曲线E上的任意一点，则有

x02

4

+

y02

3

=1，∴y02=3(1-

x02

4

)
由椭圆的对称性不妨设点P在y轴右侧，即0＜x₀≤2
则kPS=

y0+ 3

x0

，kPT=

y0- 3

x0

，由到角公式得…（4分）tan∠SPT=

kPS-kPT

1+kPS•kPT

=

y0+ 3 x0 - y0- 3 x0

1+ y0+ 3 x0 • y0- 3 x0

=

2 3 x0

x02+y02-3

=

2 3 x0

x02- 3 4 x02

=

8 3

x0

＞0
∴∠SPT为锐角…（6分）
∵0＜x₀≤2，∴当x₀=2时，(tan∠SPT)min=4

3

…（7分）
∴∠SPT的最小值为arctan4

3

…（8分）
（3）∵M，N是曲线E上不同的两点，且直线FM和FN的倾斜角互补，则直线FM，FN的斜率存在且不为零．
设直线FM的方程为y=k(x-1)+

3

2

由

y=k(x-1)+ 3 2 x2 4 + y2 3 =1

消y，整理得（4k²+3）x²-4k（2k-3）x+4k²-12k-3=0①…（10分）
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），又F(1，

3

2

)是直线FM与椭圆的交点，∴方程①的两根为1，x₁
由根与系数的关系得x1=

4k2-12k-3

4k2+3

②…（11分）
∵直线FM和FN的倾斜角互补，∴直线FN的斜率为-k，
以-k代替②中的k得x2=

4k2+12k-3

4k2+3

…（12分）
又y1=k(x1-1)+

3

2

，y2=-k(x2-1)+

3

2

∴y1-y2=k(x1+x2-2)=k•(

8k2-6

4k2+3

-2)=

-12k

4k2+3

而x1-x2=

-24k

4k2+3

，∴y1-y2=

1

2

(x1-x2)
∴直线MN的斜率为定值，其定值为

1

2

…（14分）

点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．