Question

2．如图所示，AF、DE分别是⊙O、⊙O₁的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，AD=8，BC是⊙O的直径，AB=AC=6，OE∥AD 
（1）求二面角B-AD-F的大小；
（2）求直线BD与EF所成的角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由AD⊥平面⊙O可得AD⊥AB，AD⊥AF，故∠BAF即为所求角的平面角；
（2）以O为原点建立空间直角坐标系，求出$\overrightarrow{BD}$，$\overrightarrow{FE}$的坐标，求出cos＜$\overrightarrow{BD}$，$\overrightarrow{FE}$＞即可．

解答 解：（1）∵AD与两圆所在的平面均垂直，
∴AD⊥AB，AD⊥AF，
∴∠BAF是二面角B-AD-F的平面角，
∵AB=AC，∠BAC=90°，O是BC的中点，
∴∠BAF=$\frac{1}{2}$∠BAC=45°．
即二面角 QUOTE 的大小为45°．
（2）∵OA=OB，∠BAO=45°，∴∠AOB=90°．
以O为原点，以OB，OF，OE所在直线为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，
则O（0，0，0），A（0，-3$\sqrt{2}$，0），B（3$\sqrt{2}$，0，0），D（0，-3$\sqrt{2}$，8），E（0，0，8），F（0，3$\sqrt{2}$，0），
∵$\overrightarrow{BD}$=（-3$\sqrt{2}$，-3$\sqrt{2}$，8），$\overrightarrow{FE}$=（0，-3$\sqrt{2}$，8），
∴$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{FE}$=0+18+64=82．|$\overrightarrow{BD}$|=10，|$\overrightarrow{FE}$|=$\sqrt{82}$．
∴cos＜$\overrightarrow{BD}，\overrightarrow{FE}$＞=$\frac{\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{FE}}{|\overrightarrow{BD}||\overrightarrow{FE}|}$=$\frac{82}{10•\sqrt{82}}$=$\frac{\sqrt{82}}{10}$．
故直线BD与EF所成的角为arccos$\frac{\sqrt{82}}{10}$．

点评 本题考查了空间角的计算，平面向量在立体几何中的应用，属于中档题．