【题目】已知函数.
(1)若,求函数的单调递减区间;
(2)若,求函数在区间上的最大值;
(3)若在区间上恒成立,求的最大值.
【答案】(1)单调递减区间是(2)见解析(3)1
【解析】试题分析:(1)第(1)问,直接利用导数求函数的减区间. (2) 利用导数求函数的单调性,从而求出函数的最大值,需要分类讨论. (3)利用第(2)问的结论,即,求出a的最大值.
试题解析:(1)当时,.
令.
所以 函数的单调递减区间是.
(2).
令,由,解得.
当,即时,在区间上,函数是减函数.
所以 函数在区间上的最大值为;
当,即时,x在上变化时,的变化情况如下表
x | 1 | |||
0 | + | 0 | _ | |
f(x) | 极大值 |
所以 函数在区间上的最大值为.
综上所述:当时,函数在区间上的最大值为;
当时,函数在区间上的最大值为.
(3)由(Ⅱ)可知:当时,在区间上恒成立;
当时,由于在区间上是增函数,
所以 ,即在区间上存在使得.
综上所述,a的最大值为1.
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【题目】已知函数,角的终边经过点.若是的图象上任意两点,且当时,的最小值为.
(1)求 或的值;
(2)求函数在上的单调递减区间;
(3)当时,不等式恒成立,求的最大值.
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【题目】如图,长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,点M在棱BB1上,两条直线MA,MC与平面ABCD所成角均为θ,AC与BD交于点O.
(1)求证:AC⊥OM;
(2)当M为BB1的中点,且θ= 时,求二面角A﹣D1M﹣B1的余弦值.
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【题目】[选修4-1:几何证明选讲]
如图,在正方形ABCD中,E,G分别在边DA,DC上(不与端点重合),且DE=DG,过D点作DF⊥CE,垂足为F.
(1)证明:B,C,G,F四点共圆;
(2)若AB=1,E为DA的中点,求四边形BCGF的面积.
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【题目】如图,抛物线: 与椭圆: 在第一象限的交点为, 为坐标原点, 为椭圆的右顶点, 的面积为.
(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ)过点作直线交于、 两点,射线、分别交于、两点,记和的面积分别为和,问是否存在直线,使得?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.
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【题目】某城市城镇化改革过程中最近五年居民生活水平用水量逐年上升,下表是2011至2015年的统计数据:
年份 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 |
居民生活用水量(万吨) | 236 | 246 | 257 | 276 | 286 |
(1)利用所给数据求年居民生活用水量与年份之间的回归直线方程y=bx+a;
(2)根据改革方案,预计在2020年底城镇化改革结束,到时候居民的生活用水量将趋于稳定,预计该城市2023年的居民生活用水量.
参考公式: .
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【题目】棱台的三视图与直观图如图所示.
(1)求证:平面平面;
(2)在线段上是否存在一点,使与平面所成的角的正弦值为?若存在,指出点的位置;若不存在,说明理由.
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