Question

【题目】已知函数.

（1）若,求函数的单调递减区间；

（2）若，求函数在区间上的最大值；

（3）若在区间上恒成立，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）单调递减区间是（2）见解析（3）1

【解析】试题分析：（1）第（1）问，直接利用导数求函数的减区间. (2) 利用导数求函数的单调性，从而求出函数的最大值，需要分类讨论. (3)利用第(2)问的结论，即，求出a的最大值.

试题解析：（1）当时，.

令.

所以 函数的单调递减区间是.

（2）.

令，由，解得.

当，即时，在区间上，函数是减函数.

所以 函数在区间上的最大值为；

当，即时，x在上变化时，的变化情况如下表

x	1
	0	+	0	_
f(x)			极大值

所以 函数在区间上的最大值为.

综上所述：当时，函数在区间上的最大值为；

当时，函数在区间上的最大值为.

（3）由（Ⅱ）可知：当时，在区间上恒成立；

当时，由于在区间上是增函数，

所以 ,即在区间上存在使得.

综上所述，a的最大值为1.