Question

【题目】如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M在棱BB1上，两条直线MA，MC与平面ABCD所成角均为θ，AC与BD交于点O．
（1）求证：AC⊥OM；
（2）当M为BB1的中点，且θ= 时，求二面角A﹣D1M﹣B1的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵MB⊥面ABCD，直线MA，MC与平面ABCD所成角均为θ，∴∠MAB=∠MCB=θ．

故△MBA≌MBC，BA=BC．

∴四边形ABCD为正方形，AC⊥DB，又AC⊥MB，DB∩MB=B

∴AC⊥面BDM，即AC⊥OM

（2）解：θ= 时，则有AB=BC=MB，延长D1M，DB交于点点H，

过点O作ON⊥D1H于点N，连接AN，则∠ANO为二面角A﹣D1M﹣B的平面角．

设AB=1，由△D1DH∽△ONH易得ON= ，AO= ，

tan∠ANO= ，∴∠ANO=30°

二面角A﹣D1M﹣B1的余弦值为 ．

【解析】（Ⅰ）由 MC与平面ABCD所成角均为θ，得∠MAB=∠MCB=θ．BA=BC．四边形ABCD为正方形，即可得AC⊥面BDM，即AC⊥OM．（Ⅱ） θ= 时，则有AB=BC=MB，延长D1M，DB交于点点H，过点O作ON⊥D1H于点N，连接AN，则∠ANO为二面角A﹣D1M﹣B的平面角，利用平面几何知识即可求解．
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面垂直的性质的相关知识，掌握垂直于同一个平面的两条直线平行．