Question

【题目】函数f（x）=|sinx|+|sin（x+ ）|的值域为 ．

Answer 1

【答案】[ ， ]
【解析】解：令sinx=0和sin（x+ ）=0，x∈[0，2π）， 解得x=0，π和x= ， ；
∴①当x∈[0， ]时，sinx≥0，sin（x+ ）≥0，
∴f（x）=sinx+sin（x+ ）=2sin（x+ ）cos = sin（x+ ）；
此时x+ ∈[ ， ]，
≤sin（x+ ）≤1，
∴ ≤f（x）≤ ；
②当x∈（π， ）时，sinx＜0，sin（x+ ）＜0，
∴f（x）=﹣sinx﹣sin（x+ ）=﹣ sin（x+ ）；
此时x+ ∈（ ， ），
﹣1≤sin（x+ ）≤﹣ ，
∴ ≤f（x）≤ ；
③当x∈（ ，π）时，sinx＞0，sin（x+ ）＜0，
∴f（x）=sinx﹣sin（x+ ）=2sin（﹣ ）cos（x+ ）=﹣cos（x+ ）；
此时x+ ∈（ ， ），
﹣1≤cos（x+ ）＜﹣ ，
∴ ≤f（x）≤ ；
④当x∈（ ，2π]时，sinx≤0，sin（x+ ）＞0，
∴f（x）=﹣sinx+sin（x+ ）=2sin cos（x+ ）=cos（x+ ）；
此时x+ ∈（ ， ]，
≤sin（x+ ）≤1，
∴ ＜f（x）≤1；
综上，函数f（x）的值域为[ ， ]．
所以答案是：[ ， ]．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用三角函数的最值的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握函数，当时，取得最小值为；当时，取得最大值为，则，，．