Question

1．已知${（x+\frac{2}{{\sqrt{x}}}）^n}$的展开式前两项二项式系数的和为9．
（1）求n的值．
（2）这个展开式中是否有常数项？若有，将它求出，若没有，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据题意列出方程${C}_{n}^{0}$+${C}_{n}^{1}$=9，求出n的值；
（2）利用展开式的通项公式，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可得出结论．

解答 解：（1）${（x+\frac{2}{{\sqrt{x}}}）^n}$展开式前两项二项式系数的和为9，
∴${C}_{n}^{0}$+${C}_{n}^{1}$=9，
解得n=8；
（2）展开式的通项公式为：
T_r+1=${C}_{8}^{r}$•x^8-r•${（\frac{2}{\sqrt{x}}）}^{r}$=2^r•${C}_{8}^{r}$•${x}^{8-\frac{3r}{2}}$；
令x的幂指数8-$\frac{3r}{2}$=0，
可得r=$\frac{16}{3}$不是正整数，
故展开式中没有常数项．

点评 本题考查了二项式定理的应用问题，利用二项式展开式的通项公式求展开式中某项的系数，是基础题．