Question

1．设a=${∫}_{\frac{π}{2}}^{\frac{3π}{2}}$cosxdx，则二项式（x²+$\frac{a}{x}$）⁶展开式中的x³项的系数为-160．

Answer 1

分析 在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得展开式中的x³项的系数．

解答 解：∵a=${∫}_{\frac{π}{2}}^{\frac{3π}{2}}$cosxdx=sinx${|}_{\frac{π}{2}}^{\frac{3π}{2}}$=-2，则二项式（x²+$\frac{a}{x}$）⁶=（x² -$\frac{2}{x}$）⁶ ，
二项式（x²+$\frac{a}{x}$）⁶展开式式的通项公式为T_r+1=${C}_{6}^{r}$•x^12-2r•${（\frac{-2}{x}）}^{r}$=（-2）^r•${C}_{6}^{r}$•x^12-3r，
令12-3r=3，求得r=3，可得展开式中的x³项的系数为-8•${C}_{6}^{3}$=-160，
故答案为：-160．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．