Question

设函数f（x）=x|x|+bx+c（x∈R）给出下列4个命题
①当b=0时，f（x）=0只有一个实数根；
②当c=0时，y=f（x）是偶函数；
③函数y=f（x）的图象关于点（0，c）对称；
④当b≠0，c≠0时，方程f（x）=0有两个不等实数根．
上述命题中，所有正确命题的个数是（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：对于①当b=0时，f（x）=x|x|+c=0，因y=x|x|与y=-c只有一个交点，故可判断；②当c=0时，f（x）=x|x|+bx，可判断函数为奇函数；③y=f（x）的图象可由奇函数f（x）=x|x|+bx向上或向下移|c|，y=f（x）的图象与y轴交点为（0，c），故函数y=f（x）的图象关于点（0，c）对称，故可判断；④当b≠0，c≠0时，f（x）=x|x|+x+1只有一个实数根．

解答：解：①当b=0时，f（x）=x|x|+c=0，因y=x|x|与y=-c只有一个交点，故①正确；
②当c=0时，f（x）=x|x|+bx，f（-x）=-f（x），故y=f（x）是奇函数；
③y=f（x）的图象可由奇函数f（x）=x|x|+bx向上或向下移|c|，y=f（x）的图象与y轴交点为（0，c），故函数y=f（x）的图象关于点（0，c）对称，故③正确；
④当b≠0，c≠0时，f（x）=x|x|+x+1只有一个实数根．
故选C．

点评：本题的考点是命题的真假判断与应用．主要考查函数性质的判断，关键是正确理解函数．