Question

已知f(x)=2ln 1+x +x2-ax (1)若f(x)在(0，1)上递增，求a的取值范围； (2)证明： n k=2 1 k -ln n+1 2 ＜ n k=2 1 k2 ＜ 2 3 ，(n∈N且n≥2).

．

Answer 1

分析：（1）由f（x）在（0，1）上递增，可得当x∈（0，1）时，f′（x）=2x-a+

1

x+1

≥0恒成立，即a≤2x+

1

x+1

，进而将问题转化为函数恒成立问题，构造函数g（x）=2x+

1

x+1

，求出x∈（0，1）时的最值，可得答案．
（2）由（1）可得a=1时，f（x）在（0，1）上递增，即在区间（0，1）上，f（x）＞f（0），即ln（x+1）＞x-x²，进而利用对数的运算性质，可证得结论．

解答：解：（1）f（x）的定义域为（-1，+∞），f′（x）=2x-a+

1

x+1

∵f（x）在（0，1）上递增，
∴当x∈（0，1）时，f′（x）=2x-a+

1

x+1

≥0恒成立，
即a≤2x+

1

x+1

令g（x）=2x+

1

x+1

，则当x∈（0，1）时，g′（x）=2-

1

(x+1)2

＞0，
∴g（x）在（0，1）上递增，
∴g（x）在（0，1）上的最小值为g（0）=1
∴a≤1
证明：（2）由（1）得：当a=1时，f（x）在（0，1）上递增
∴在（0，1）上，f（x）＞f（0）⇒ln（x+1）＞x-x²
令x=

1

n

（n≥2），则ln(

1

n

+1)＞

1

n

-

1

n2

⇒ln

n+1

n

＞

n-1

n2

∴

n

k=2

(

1

k

-

1

k2

)＜ln

3

2

+ln

4

3

+…+ln

n+1

n

=ln

n+1

2

∴ n k=2 1 k -ln n+1 2 ＜ n k=2 1 k2 …(10分) 又 n k=2 1 k2 ＜ n k=2 1 k2- 1 4 =4 n k=2 1 (2k-1)(2k+1) =2 n k=2 ( 1 2k-1 - 1 2k+1 )=2( 1 3 - 1 2n+1 )＜ 2 3 …(11分) ∴ n k=2 1 k -ln n+1 2 ＜ n k=2 1 k2 ＜ 2 3 …(12分)

点评：本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，不等式的证明，是函数与不等式的综合应用，难度较大，（2）的解答中要注意应用（1）的结论．