Question

已知函数f（x）=mx+

1

x+n

（m，n∈Z），曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=3．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）设g（x）=aln（x-1）（a＞0），若函数F（x）=f（x）+g（x）与x轴有两个交点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导函数，利用曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=3，建立方程，可求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得F（x）=aln（x-1）+

1

x-1

，定义域为（1，+∞），F′（x）=

ax-a-1

(x-1)2

，确定函数的单调性，求得函数的最小值，由此即可求出实数a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）求导函数，可得f′(x)=m-

1

(x+n)2

，
∵曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=3
∴f（2）=3，f′（2）=0
∴2m+

1

2+n

=3，m-

1

(2+n)2

=0
∴

m=1 n=-1

或

m= 9 4 n=- 8 3

，
由于m，n∈Z，所以

m=1 n=-1

，则f(x)=x+

1

x-1

．        （4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得F（x）=aln（x-1）+

1

x-1

，定义域为（1，+∞），F′（x）=

ax-a-1

(x-1)2

，由于a＞0，
令F′（x）=0，得x=1+

1

a

，
当x∈(1，1+

1

a

)时，F′（x）＜0，知F（x）在x∈(1，1+

1

a

)时单调递减，
同理，F（x）在x∈(1+

1

a

，+∞)时单调递增
所以F（x）min=F(1+

1

a

)=a-alna
令a-alna＜0，即a＞e时，函数F（x）=0有两个实数根
所以a的取值范围是（a，+∞）

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，解题的关键是正确求导．