Question

已知圆M：x²+（y-4）²=4，点P是直线l：x-2y=0上的一动点，过点P作圆M的切线pa、PB，切点为A、B．
（Ⅰ）当切线PA的长度为2

3

时，求点P的坐标；
（Ⅱ）若△PAM的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由；
（Ⅲ）求线段AB长度的最小值．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：综合题,直线与圆

分析：（Ⅰ）因为PA是圆M的一条切线，所以∠MAP=90°，所以MP=

(0-2b)2+(4-b)2

=

AM2+AP2

=4，即可点P的坐标；
（Ⅱ）设P（2b，b），因为∠MAP=90°，所以经过A、P、M三点的圆N以MP为直径，其方程为：(x-b)2+(y-

b+4

2

)2=

4b2+(b-4)2

4

，即（2x+y-4）b-（x²+y²-4y）=0，即可得出结论；
（Ⅲ）求出点M到直线AB的距离，利用勾股定理，即可求线段AB长度的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）由题可知，圆M的半径r=2，设P（2b，b），
因为PA是圆M的一条切线，所以∠MAP=90°，
所以MP=

(0-2b)2+(4-b)2

=

AM2+AP2

=4，解得b=0或b=

8

5

所以P(0，0)或P(

16

5

，

8

5

)…4分
（Ⅱ）设P（2b，b），因为∠MAP=90°，所以经过A、P、M三点的圆N以MP为直径，
其方程为：(x-b)2+(y-

b+4

2

)2=

4b2+(b-4)2

4

即（2x+y-4）b-（x²+y²-4y）=0
由

2x+y-4=0 x2+y2-4y=0

，…7分
解得

x=0 y=4

或

x= 8 5 y= 4 5

，所以圆过定点(0，4)，(

8

5

，

4

5

)…9分
（Ⅲ）因为圆N方程为（x-b）²+（y-

b+4

2

）²=

4b2+(b-4)2

4

即x²+y²-2bx-（b+4）y+4b=0 　　　　　　　　　　    …①
圆M：x²+（y-4）²=4，即x²+y²-8y+12=0…②
②-①得圆M方程与圆N相交弦AB所在直线方程为：2bx+（b-4）y+12-4b=0…11分
点M到直线AB的距离d=

4

5b2-8b+16

…13分
相交弦长即：AB=2

4-d2

=4

1- 4 5b2-8b+16

=4

1- 4 5(b- 4 5 )2+ 64 5

当b=

4

5

时，AB有最小值

11

…16分．

点评：本题考查直线和圆的方程的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．