Question

已知函数f（x）=

-x2+2ax(x≥1) 2ax-1(x＜1)

，若存在两个不相等的实数x₁，x₂，使得f（x₁）=f（x₂），则实数a的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：函数的性质及应用

分析：若函数f（x）=

-x2+2ax(x≥1) 2ax-1(x＜1)

，若存在两个不相等的实数x₁，x₂，使得f（x₁）=f（x₂），则函数不为单调函数，进而根据二次函数和一次函数的图象和性质，可得实数a的取值范围．

解答： 解：若存在两个不相等的实数x₁，x₂，使得f（x₁）=f（x₂），
则函数f（x）函数不为单调函数，
由y=-x²+2ax在（a，+∞）上为减函数，
故函数f（x）=

-x2+2ax(x≥1) 2ax-1(x＜1)

为单调函数时只能是减函数，
此时a＜0，
故函数f（x）函数不为单调函数时，a≥0，
即实数a的取值范围为：[0，+∞），
故答案为：[0，+∞）

点评：本题考查的知识点是分段函数的应用，其中根据已知分析出函数f（x）函数不为单调函数，是解答的关键．