【题目】已知函数与
的图象关于直线
对称.
(1)不等式对任意
恒成立,求实数
的最大值;
(2)设在
内的实根为
,
,若在区间
上存在
,证明:
.
【答案】(1)1(2)见解析
【解析】试题分析:(1)不等式恒成立问题,一般利用变量分离,转化为对应函数最值问题,即的最小值,再利用导数求出函数
的最小值
,即得
,因此实数
的最大值为
.(2)先根据函数
与
的图象关于直线
对称,求出
,再由
在
内的实根为
,得等量关系
,利用导数研究函数
单调性:在
上单调递增;在
上单调递增减,因此
,
,
为其极大值点,根据极点偏移方法证明
:要证:
,即证:
,只要证
,即证
,构造函数
,其中
.利用导数可得
在
上单调递增,即得
试题解析:(1)由,所以
,
设,∴
.
由,∴
,
在
上单调递增;
,∴
,
在
上单调递减,所以
,即
,所以实数
的最大值为
.
(2)设为函数
图象上任意一点,
则点为函数
图象上的点,所以
,所以
,
当时,
,
,因而
在
上单调递增;
当时,
,
,因而
在
上单调递增减,
又,则
,
,
显然当时,
.
要证: ,即证:
,而
在
上单调递增减,
故可证,又由
,即证
,
即,
记,其中
.
.
设,当
时,
;
时,
,
故.
而,故
,而
,从而
,
因此当,即
单调递增.
从而当时,
,即
,故
得证.
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【题目】在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2asin B=b.
(1)求角A的大小; (2)若a=6,b+c=8,求△ABC的面积.
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【题目】2017 年省内某事业单位面向社会公开招骋工作人员,为保证公平竞争,报名者需要参加笔试和面试两部分,且要求笔试成绩必须大于或等于分的才有资格参加面试,
分以下(不含
分)则被淘汰,现有
名竞骋者参加笔试,参加笔试的成绩按区间
分段,其频率分布直方图如图所示(频率分布直方图有污损),但是知道参加面试的人数为
,且笔试成绩在
的人数为
.
(1)根据频率分布直方图,估算竞骋者参加笔试的平均成绩;
(2)若在面试过程中每人最多有次选题答题的机会,累计答对
题或答错
题, 答对
题者方可参加复赛,已知面试者甲答对每一个问题的概率都相同,并且相互之间没有影响,若他连续三次答题中答对一次的概率为
,求面试者甲答题个数
的分布列及数学期望.
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【题目】已知抛物线:
,定点
(常数
)的直线
与曲线
相交于
、
两点.
(1)若点的坐标为
,求证:
(2)若,以
为直径的圆的位置是否恒过一定点?若存在,求出这个定点,若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,四边形为梯形,
,
平面
,
,
,
,
为
中点.
(1)求证:平面平面
;
(2)线段上是否存在一点
,使
平面
?若有,请找出具体位置,并进行证明:若无,请分析说明理由.
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【题目】【2016-2017学年辽宁省六校协作体高二下学期期初数学(理)】已知圆的圆心在坐标原点,且与直线
相切.
(1)求直线被圆
所截得的弦
的长;
(2)过点作两条与圆
相切的直线,切点分别为
求直线
的方程;
(3)若与直线垂直的直线
与圆
交于不同的两点
,若
为钝角,求直线
在
轴上的截距的取值范围.
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【题目】【2013江苏,理17】如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4.设圆C的半径为1,圆心在l上.
(1)若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;
(2)若圆C上存在点M,使MA=2MO,求圆心C的横坐标a的取值范围.
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