Question

12．已知椭圆M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1（a＞0）的一个焦点为F（-1，0），左右顶点分别为A，B，经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）记△ABD与△ABC的面积分别为S₁和S₂，求|S₁-S₂|的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由焦点F坐标可求c值，根据a，b，c的平方关系可求得a值；
（Ⅱ）当直线l不存在斜率时可得，|S₁-S₂|=0；当直线l斜率存在（显然k≠0）时，设直线方程为y=k（x+1）（k≠0），与椭圆方程联立消y可得x的方程，根据韦达定理可用k表示x₁+x₂，x₁x₂，|S₁-S₂|可转化为关于x₁，x₂的式子，进而变为关于k的表达式，再用基本不等式即可求得其最大值．

解答 解：（Ⅰ）因为F（-1，0）为椭圆的焦点，所以c=1，
又b=$\sqrt{3}$，所以a=2，
所以椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（Ⅱ）直线l无斜率时，直线方程为x=-1，
此时D（-1，$\frac{3}{2}$），C（-1，-$\frac{3}{2}$），△ABD，△ABC面积相等，|S₁-S₂|=0，
当直线l斜率存在（显然k≠0）时，设直线方程为y=k（x+1）（k≠0），
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
和椭圆方程联立，消掉y得（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，
显然△＞0，方程有根，且x₁+x₂=-$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
此时|S₁-S₂|=2||y₁|-|y₂||=2|y₁+y₂|=2|k（x₂+1）+k（x₁+1）|
=2|k（x₂+x₁）+2k|=$\frac{12|k|}{3+4{k}^{2}}$=$\frac{12}{\frac{3}{|k|}+4|k|}$≤$\frac{12}{2\sqrt{12}}$=$\sqrt{3}$，（k=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$时等号成立）
所以|S₁-S₂|的最大值为$\sqrt{3}$．

点评 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及椭圆的标准方程的求解，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，属于中档题．