Question

(本小题12分) 正项数列{a_n}满足a₁=2，点A_n（）在双曲线y²-x²=1上，点（）在直线y=-x+1上，其中Tn是数列{bn}的前n项和。
①求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
②设C_n=a_nb_n，证明 C_n+1＜C_n
③若m-7a_nb_n＞0恒成立，求正整数m的最小值。

Answer 1

(1) a_n=n+1, (2)利用单调性法加以证明。
(3) m的最小值为10

试题分析：① 由已知点A_n在y²-x²=1上知，a_n+1-a_n=1，
∴数列{a_n}是一个以2为首项，以1为公差的等差数列。
∴a_n=n+1
∵点（）在直线y=-x+1上
∴T_n=-b_n+1            ①
∴T_n-1=-b_n-1+1         ②
①②两式相减得b_n=-b_n+b_n-1
∴
令n=1得 
∴，。
∴
②
∴
=
=
=＜0，
∴＜
③ ∵ 而m＞7恒成立    ∴m＞7c₁=   而 
∴m的最小值为10。
点评：对于数列图像的求解，该试题以函数为背景建立了递推关系式，进而得到是等差数列，同时能借助于通项公式与前n项和的关系式，整体的思想求解通项公式，这是重要的一点。而对于错位相减法求和需要熟练掌握，找到容易出错的细节就是最后一步的合并，要细心点，属于中档题。