【题目】已知函数f(x)=sin2x﹣ sinxcosx+
,g(x)=mcos(x+
)﹣m+2
(1)若对任意的x1 , x2∈[0,π],均有f(x1)≥g(x2),求m的取值范围;
(2)若对任意的x∈[0,π],均有f(x)≥g(x),求m的取值范围.
【答案】
(1)解:函数f(x)=sin2x﹣ sinxcosx+
= ﹣
sin2x+
=﹣( cos2x+
sin2x)+1
=﹣cos(2x﹣ )+1,
当x∈[0,π]时,2x﹣ ∈[﹣
,
],
∴cos(2x﹣ )∈[﹣1,1],
∴f(x)∈[0,2];
对于g(x)=mcos(x+ )﹣m+2(m>0),
x+ ∈[
,
],
mcos(x+ )∈[﹣m,
m],
∴g(x)∈[﹣2m+2,2﹣ m],
若对任意x1,x2∈[0,π],使得f(x1)≥g(x2)成立,
可得:0≥2﹣ ,可得m≥4.
(2)对任意的x∈[0,π],均有f(x)≥g(x),
即:f(x)﹣g(x)=﹣cos(2x﹣ )+1﹣mcos(x+
)+m﹣2
=cos(2x )﹣mcos(x+
)+m﹣1
=2cos2(x+ )﹣mcos(x+
)+m﹣2
=2[cos(x+ )﹣
]2﹣
+m﹣2≥0,
∵x+ ∈[
,
],
∴cos(x+ )∈[﹣1,
],
当 即:﹣4≤m≤2时,﹣
+m﹣2≥0,解得m=4.无解.
当 即m>2时,cos(x+
)=
可得:
,解得m≥3,
当 即m<﹣4时,cos(x+
)=﹣1可得:2+m+m﹣2≥0,解得m≥0,无解,
综上m的取值范围为[3,+∞).
【解析】(1)利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式,求出两个函数的最值,列出不等式求解即可,(2)转化不等式为:函数恒成立,通过余弦函数的范围列出关系式,然后求解即可.
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【题目】已知函数对任意实数
均有
,其中常数
为负数,且
在区间
上有表达式
.
(1)写出在
上的表达式,并写出函数
在
上的单调区间(不用过程,直接写出即可);
(2)求出在
上的最小值与最大值,并求出相应的自变量的取值.
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【题目】李庄村某社区电费收取有以下两种方案供农户选择:
方案一:每户每月收管理费2元,月用电不超过30度,每度0.4元,超过30度时,超过部分按每度0.5元.
方案二:不收管理费,每度0.48元.
(1)求方案一收费元与用电量
(度)间的函数关系;
(2)小李家九月份按方案一交费34元,问小李家该月用电多少度?
(3)小李家月用电量在什么范围时,选择方案一比选择方案二更好?
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【题目】已知椭圆 :
的离心率为
,且过点
,
,
是椭圆
上异于长轴端点的两点.
(1)求椭圆 的方程;
(2)已知直线 :
,且
,垂足为
,
,垂足为
,若
,且
的面积是
面积的5倍,求
面积的最大值.
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【题目】在年初的时候,国家政府工作报告明确提出,
年要坚决打好蓝天保卫战,加快解决燃煤污染问题,全面实施散煤综合治理.实施煤改电工程后,某县城的近六个月的月用煤量逐渐减少,
月至
月的用煤量如下表所示:
月份 | ||||||
用煤量 |
(1)由于某些原因, 中一个数据丢失,但根据
至
月份的数据得出
样本平均值是
,求出丢失的数据;
(2)请根据至
月份的数据,求出
关于
的线性回归方程
;
(3)现在用(2)中得到的线性回归方程中得到的估计数据与月
月的实际数据的误差来判断该地区的改造项目是否达到预期,若误差均不超过
,则认为该地区的改造已经达到预期,否则认为改造未达预期,请判断该地区的煤改电项目是否达预期?
(参考公式:线性回归方程,其中
)
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【题目】设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若三边的长为连续的三个正整数,且A>B>C,3b=20acos A,则sin A:sin B:sin C为 .
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【题目】一副直角三角板(如图1)拼接,将△BCD折起,得到三棱锥A﹣BCD(如图2).
(1)若E,F分别为AB,BC的中点,求证:EF∥平面ACD;
(2)若平面ABC⊥平面BCD,求证:平面ABD⊥平面ACD.
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【题目】已知函数为定义在
上的奇函数.
(Ⅰ)求的解析式;
(Ⅱ)判断在定义域
上的单调性,并用函数单调性定义给予证明;
(Ⅲ)若关于的方程
在
上有解,求实数
的取值范围.
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【题目】统计表明,家庭的月理财投入(单位:千元)与月收入
(单位:千元)之间具有线性相关关系.某银行随机抽取5个家庭,获得第
(
1,2,3,4,5)个家庭的月理财投入
与月收入
的数据资料,经计算得
,
,
,
.
(1)求关于
的回归方程
;
(2)判断与
之间是正相关还是负相关;
(3)若某家庭月理财投入为5千元,预测该家庭的月收入.
附:回归方程的斜率与截距的最小二乘估计公式分别为:
,
,其中
,
为样本平均值.
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