Question

【题目】已知函数为定义在上的奇函数.

（Ⅰ）求的解析式；

（Ⅱ）判断在定义域上的单调性，并用函数单调性定义给予证明；

（Ⅲ）若关于的方程在上有解，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）详见解析; （Ⅲ）.

【解析】试题分析：（Ⅰ）因为函数为上的奇函数，所以，即可解得得到函数的解析式；

（Ⅱ）根据函数单调性的定义，即可判定函数为的递减函数；

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知：当时， ，列出不等式，即求解实数的取值范围。

试题解析：

（Ⅰ）因为函数为上的奇函数，

所以解得： .经检验，符合题意

所以.

（Ⅱ）为上的减函数

证明：设，且，

则：

由可知， ，

所以，即：

故函数为上的减函数.

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知：当时，

即：

所以解得：

故实数的取值范围为.