Question

【题目】一副直角三角板（如图1）拼接，将△BCD折起，得到三棱锥A﹣BCD（如图2）．

（1）若E，F分别为AB，BC的中点，求证：EF∥平面ACD；
（2）若平面ABC⊥平面BCD，求证：平面ABD⊥平面ACD．

Answer 1

【答案】
（1）证明：因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF∥AC．

又EF平面ACD，AC平面ACD，所以EF∥平面ACD．

（2）因为平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，

CD平面BCD，CD⊥BC，所以CD⊥平面ABC．

因为AB平面ABC，所以CD⊥AB．

又因为AB⊥AC，AC∩CD=C，AC平面ACD，CD平面ACD，

所以AB⊥平面ACD．

又AB平面ABD，所以平面ABD⊥平面ACD．

【解析】（1）根据中位线性质可得EF∥AC，由线面平行相关性质可得EF∥平面ACD，（2）由平面ABC⊥平面BCD，CD⊥BC，所以CD⊥平面ABC，从而得到CD⊥AB，结合AB⊥AC，可得出AB⊥平面ACD，即平面ABD⊥平面ACD．
【考点精析】本题主要考查了直线与平面平行的判定和平面与平面垂直的判定的相关知识点，需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行；一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直才能正确解答此题．