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    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    已知函数f（x）=
    x
    x+3
    ，构造如下函数序列fn（x）：fn（x）=f[fn-1（x）]（x∈N*，且n≥2），其中f1（x）=f（x），（x＞0），则f3（x）=
    x
    13x+27
    x
    13x+27
    ，函数fn（x）=
    x
    3n-1
    2
    x+3n
    x
    3n-1
    2
    x+3n
    ．
    分析：分别计算出f1（x），f2（x），f3（x），…，分析不等式的构成，寻找规律，进行归纳．
    解答：解：∵函数f（x）=
    x
    x+3
    ，
    f1（x）=f（x）=
    x
    x+3
    ，
    f2（x）=f（f1（x））=
    x
    x+3
    x
    x+3
    +3
    =
    x
    4x+9
    ，
    f3（x）=f（f2（x））=
    x
    13x+27
    =
    x
    33-1
    2
    x+33
    ，
    f4（x）=f（f3（x））=
    x
    13x+27
    x
    13x+27
    +3
    =
    x
    34-1
    2
    x+34
    ，
    …
    所给的函数式的分子不变都是x，
    而分母是由两部分的和组成，
    第一部分的系数分别是1，4，13，40…
    3n-1
    2
    ，
    第二部分的数分别是3，9，27，81…3n
    ∴fn（x）=f（fn-1（x））=
    x
    3n-1
    2
    x+3n
    ．
    故答案为：
    x
    13x+27
    .
    x
    3n-1
    2
    x+3n
    ．
    点评：本题考查归纳推理，实际上可看作给出一个数列的前几项写出数列的通项公式．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    精英家教网已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜
    π
    2
    ）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式是（　　）
    A、f(x)=2sin(πx+
    π
    6
    )(x∈R)
    B、f(x)=2sin(2πx+
    π
    6
    )(x∈R)
    C、f(x)=2sin(πx+
    π
    3
    )(x∈R)
    D、f(x)=2sin(2πx+
    π
    3
    )(x∈R)

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•深圳一模）已知函数f(x)=
    1
    3
    x3+bx2+cx+d    ，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x-12，f′（x）为f（x）的导函数，且满足f′（2-x）=f′（x）．
    （1）求f（x）；
    （2）设g(x)=x
    		f′(x)
     ， m＞0    ，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；
    （3）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2011•上海模拟）已知函数f(x)=(
    x
    a
    -1)2+(
    b
    x
    -1)2，x∈(0，+∞)    ，其中0＜a＜b．
    （1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
    （2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
    （3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
    求证：f1(x)+f2(x)＞
    4c2
    k(k+c)
    ．

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    科目：高中数学 来源：上海模拟 题型：解答题

    已知函数f(x)=(
    x
    a
    -1)2+(
    b
    x
    -1)2，x∈(0，+∞)    ，其中0＜a＜b．
    （1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
    （2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
    （3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
    求证：f1(x)+f2(x)＞
    4c2
    k(k+c)
    ．

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    科目：高中数学 来源：深圳一模 题型：解答题

    已知函数f(x)=
    1
    3
    x3+bx2+cx+d    ，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x-12，f′（x）为f（x）的导函数，且满足f′（2-x）=f′（x）．
    （1）求f（x）；
    （2）设g(x)=x
    		f′(x)
     ， m＞0    ，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；
    （3）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．

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