如图所示，在四棱锥
中，底面
为矩形，
平面，点
在线段
上，
平面
．
（1）证明：
平面
.；
（2）若
，求三棱锥
的体积．
（1）见解析（2）
解析试题分析：（1）要证平面,需证
与平面内的两条相交直线都垂直，
由平面,可证
，由平面，可证
.根据线面垂直的判定定理，
可证平面.（2）设矩形的对角线的交点为
,连结
，由（1）的结论可知平面，从而有
，所以矩形为正方形，边长为2；由平面，知
，因此
与
相似，可确定的各边长，然后由
求三棱锥的体积.
试题解析：（1）∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥BD．
∵PC⊥平面BDE，
∴PC⊥BD．
又PA∩PC＝P，∴BD⊥平面PAC． 6分
（2）如图，设AC与BD的交点为O，连结OE．
∵PC⊥平面BDE，∴PC⊥OE．
由（1）知，BD⊥平面PAC，∴BD⊥AC，
由题设条件知，四边形ABCD为正方形．
由AD＝2，得AC＝BD＝2
，OC＝．
在Rt△PAC中，PC＝
＝
＝3．
易知Rt△PAC∽Rt△OEC，
∴
＝
＝
，即
＝
＝
，∴OE＝，CE＝
．
∴VE-BCD＝
S△CEO·BD＝·
OE·CE·BD＝
···2＝． 13分
考点：1、直线与平面垂直的判定与性质；2、棱锥的体积.
名校课堂系列答案科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图(1)所示,△ABC是等腰直角三角形,AC=BC=4,E、F分别为AC、AB的中点,将△AEF沿EF折起,使A′在平面BCEF上的射影O恰为EC的中点,得到图(2).
(1)求证:EF⊥A′C;
(2)求三棱锥F
A′BC的体积.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，点E、F分别在边CD、CB上，点E与点C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC＝O，沿EF将△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED.
(1)求证：BD⊥平面POA；
(2)记三棱锥PABD体积为V1，四棱锥PBDEF体积为V2，且
，求此时线段PO的长．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，直线l与平面ABCD平行，E和F是l上的两个不同点，且EA＝ED，FB＝FC.E′和F′是平面ABCD内的两点，EE′和FF′都与平面ABCD垂直．
(1)证明：直线E′F′垂直且平分线段AD；
(2)若∠EAD＝∠EAB＝60 °，EF＝2.求多面体ABCDEF的体积．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
在
中，AB=2BF=4，C，E分别是AB，AF的中点（如下左图）．将此三角形沿CE对折，使平面AEC⊥平面BCEF（如下右图），已知D是AB的中点．
（1）求证：CD∥平面AEF;
（2）求证：平面AEF⊥平面ABF；
（3）求三棱锥C-AEF的体积，
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图所示的几何体ABCDFE中，△ABC，△DFE都是等边三角形，且所在平面平行，四边形BCED是边长为2的正方形，且所在平面垂直于平面ABC．
（Ⅰ）求几何体ABCDFE的体积；
（Ⅱ）证明：平面ADE∥平面BCF；
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为
的中点，求证：
面
；
面
.
中，
，
，
，D为BC的中点.
∥面
；
的体积.
的底面边长为
，侧棱长为
，
为棱
的中点．
与
所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；
．