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一动圆与已知圆O1(x+2)2+y2=1外切,与圆O2(x-2)2+y2=49内切,
(1)求动圆圆心的轨迹方程C;
(2)已知点A(2,3),O(0,0)是否存在平行于OA的直线l与曲线C有公共点,且直线OA与l的距离等于4?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.
(1)∵圆O1的方程为:(x+2)2+y2=1,
∴圆O1的圆心为(-2,0),半径r1=1;同理圆O2的圆心为(2,0),半径r2=7.
设动圆的半径为R、圆心为M,圆M与圆O1外切于点E,圆M与圆O2内切于点F,连结O1M、O2F,
则E点在O1M上,M在O2F上.
∵|O1M|=|O1E|+|EM|,|O2M|=|O2F|-|MF|,
∴|O1M|=r1+R,|O2M|=r2-R,
两式相加得:|O1M|+|O2M|=r1+r2=1+7=8(定值),
∴圆心M在以O1、O2为焦点的椭圆上运动,
由2a=8,c=2,得a=4,b=
a2-c2
=2
3

椭圆方程为
x2
16
+
y2
12
=1

即动圆圆心的轨迹方程为C:
x2
16
+
y2
12
=1

(2)直线OA的斜率为k=
3-0
2-0
=
3
2
,则平行于OA的直线l的斜率也是
3
2

假设存在符合题意的直线l,设其方程为y=
3
2
x+t,
y=
3
2
x+t
x2
16
+
y2
12
=1
消去y,得3x2+3tx+t2-12=0,
∵直线l与椭圆有公共点,
∴△=(3t)2-4×3×(t2-12)≥0,解得-4
3
≤t≤4
3

另一方面,由直线OA:
3
2
x-y=0与l:
3
2
x-y+t=0的距离为
|t|
(
3
2
)
2
+(-1)2
=4,解之得t=±2
13

由于±2
13
∉[-4
3
,4
3
],所以符合题意的直线l不存在.
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