Question

【题目】已知函数.

（1）当时，讨论函数的单调性；

（2）当时，恒有，求实数的取值范围.

附：，.

Answer 1

【答案】(1)见解析.(2) .

【解析】

(1)首先求得导函数，然后分类讨论和两种情况确定函数的单调性即可；

(2)原问题等价于函数的最大值小于零，结合函数的单调性分类讨论函数的最大值，然后分别求解关于m的不等式即可确定实数的取值范围.

（1）

.

①若，在区间上恒成立，

所以函数在区间上单调递减；

②若，由，解得或；由，解得.

所以函数在区间，上单调递减；在区间上单调递增.

综上所述，当时，函数在区间上单调递减；

当时，函数在区间，上单调递减；在区间上单调递增.

（2）由（1）知，.因为，所以.

①若，则，由，解得；由，解得.

所以函数在区间上单调递减；在区间上单调递增.

所以当时，取得最大值为，

所以当时，恒成立.

②若，由，解得；由，解得或，

所以函数在区间上单调递增；在区间，上单调递减.

所以当时，取得极小值，极小值为，当时，取得极大值，极大值为.

要使当时，，则需，解得.

因为 ，所以.

又，所以时，恒成立.

③若，由（1）知，函数在区间上单调递减，又，

所以当时，，不满足题意.

④若，由（1）知，函数在区间，上单调递减；在区间上单调递增.故当时，函数取得极小值，极小值为，不满足题意.

综上可知，实数的取值范围为.