Question

【题目】已知为坐标原点，椭圆的焦距为，直线截圆与椭圆所得的弦长之比为，圆、椭圆与轴正半轴的交点分别为，.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设点（且）为椭圆上一点，点关于轴的对称点为，直线，分别交轴于点，，证明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）详见解析.

【解析】

（1）根据焦距为，直线截圆与椭圆所得的弦长之比为，结合性质 ，列出关于 、 、的方程组，求出 、，即可得结果；（2）由（1）可知，点的坐标为，点的坐标为，由直线的方程与直线的方程令，分别求得，，可证明，即，从而可得结论.

（1）根据题意可知，.

因为直线截椭圆所得的弦长为，

所以，化简得.

所以，.

故椭圆的标准方程为.

（2）由（1）可知，点的坐标为，点的坐标为.

直线的方程为，令，得.

因为点关于轴的对称点为，所以.

所以直线的方程为.

令，得.

因为，

而点在椭圆上，所以.即，所以，即，所以.