Question

【题目】已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，.椭圆C的长轴与焦距之比为，过的直线l与C交于A、B两点.

（1）求椭圆的方程；

（2）当l的斜率为1时，求的面积；

（3）当线段的垂直平分线在y轴上的截距最小时，求直线l的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）12（3）.

【解析】

（1）根据已知条件求得，由此求得椭圆方程.

（2）求得直线的方程，联立直线的方程和椭圆方程，求得两点的纵坐标，由此求得三角形的面积.

（3）设出直线的方程，联立直线的方程和抛物线方程，化简后写出韦达定理，求得线段中点的坐标，设线段的垂直平分线与y轴的交点为，根据求得关于的表达式，由此求得的最小值，以及此时的值，进而求得直线的方程.

（1）依题意，因，又，得，

所以椭圆C的方程为.

（2）设、，当时，直线l：，将直线与椭圆方程联立，消去x得，，解得，，，

所以.

（3）设直线l的斜率为k，由题意可知，由，消去y得，恒成立，，

设线段的中点为，则，，

设线段的垂直平分线与y轴的交点为，则，得.

，整理得：，，等号成立时.故当截距m最小为时，，此时直线l的方程为.