Question

【题目】有12支球队进行足球比赛,每两队都赛一场,胜者得3分,负者得0分,平局各得1分那么,有1支球队最少要得多少分才能保证最多有6支球队的得分不少于该队的得分?

Answer 1

【答案】23

【解析】

假设有7支球队的得分与该队得分相同,那么,这8支球队每两队比赛一场的得分最多为3分所以,他们的得分最多为分,每队的得分不能超过分,故每队最多只能胜3场.

现将12支球队分成两组,一组为8支得分相同的球队,另一组为另外4支球队.同在一组的8支球队依次排成一圈,其中每队胜他后面的3支队,并与第4支队踢平,且负于另3支队.那么,这8支球队的每队得分最多为分(即同在一组的8支球队都胜同组的3队平1队负于3队,胜另一组的4支队)

因此当有8支球队得分相同(有7支球队的得分不少于该队)时,每队最多可得22分,故当题设命题成立时,该队的得分不少于23分

下面证明:若有1支球队至少得23分,那么,最多有6支球队的得分不少于该队,否则,设有7支球队得分不少于23分,那么,这8支球队的得分不少于8×23=184分.另一方面,将12支球队分成两组,一组8支球队,另一组4支球队.同在一组的8支球队的总分最多为分.但矛盾,所以,命题成立.