Question

【题目】已知椭圆：在轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且右焦点坐标为．

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线与圆相切，和椭圆交于，两点，为原点，线段，分别和圆交于，两点，设，的面积分别为，，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）设椭圆的标准方程为，利用待定系数法求解；

（2）分直线斜率不存在与存在两种情况讨论，当直线斜率不存在时，易得，当直线斜率存在，设设，，由直线与圆相切得到，将直线与椭圆联立得到韦达定理，将表示成k的函数，求出值域即可.

（1）设椭圆的标准方程为．

如图所示，为等腰直角三角形，为斜边的中线（高），

且，，，．

故所求椭圆的标准方程为

（2）①当直线斜率不存在时，其方程为，由对称性，不妨设为，

此时，，，，故

②若直线斜率存在，设其方程为，由已知得

设，，将直线与椭圆联立得

由韦达定理，

结合及，可知：

将韦达定理代入整理得

结合知，设，

则

综上的取值范围为