[题目]已知抛物线的焦点为F.过F作两条互相垂直的弦AB.CD.设AB.CD的中点分别为M.N.(1)求证:直线MN必过定点,(2)分别以AB和CD为直径作圆.求两圆相交弦中点H的轨迹方程. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】已知抛物线的焦点为F，过F作两条互相垂直的弦AB、CD，设AB、CD的中点分别为M、N。

（1）求证：直线MN必过定点；

（2）分别以AB和CD为直径作圆，求两圆相交弦中点H的轨迹方程。

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）易知F(1,0).

设，代入，得.

易得，故.

因为CD⊥AB，所以将点M坐标中的k换为，即得.

则，

即.

故不论k为何值，直线MN恒过定点T(3, 0).

（2）由拋物线的性质知，都与抛物线的准线x=-1相切，所以，的半径分别为.从而，，

两式相减并整理，得公共弦所在直线方程为.

又，

故公共弦所在直线过原点O.

所以，∠OHT=90°.

于是，点H的轨迹是以OT为直径的圆(除去直径的两个端点)，其轨迹方程为

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	青年	中老年	合计
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不使用手机支付		28
合计			100

（1）根据已知条件完成列联表，并根据此资料判断是否有99.9%的把握认为“超市购物用手机支付与年龄有关”.

（2）现按照“使用手机支付”和“不使用手机支付”进行分层抽样，从这100名顾客中抽取容量为5的样本，求“从样本中任选3人，则3人中至少2人使用手机支付”的概率.

（其中）

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