Question

【题目】现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P—A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCD—A1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．

(1)若AB＝6 m，PO1＝2 m，则仓库的容积是多少？

(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？

Answer 1

【答案】（1）312；（2）当时，仓库的容积最大

【解析】试题分析:（1）先根据锥体体积求正四棱锥体积，再根据柱体体积公式求正四棱柱体积，最后求和得仓库的容积（2）先根据体积公式建立关于PO1三次函数关系式，再利用导数求函数最值

试题解析：(1)由PO1＝2知O1O＝4PO1＝8.因为A1B1＝AB＝6，

所以正四棱锥P—A1B1C1D1的体积V锥＝·A1B·PO1＝×62×2＝24(m3)；

正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的体积V柱＝AB2·O1O＝62×8＝288(m3)．

所以仓库的容积V＝V锥＋V柱＝24＋288＝312(m3)．

(2)设A1B1＝a m，PO1＝h m，则0<h<6，O1O＝4h.连接O1B1.

因为在Rt△PO1B1中，O1B＋PO＝PB，所以2＋h2＝36，即a2＝2(36－h2)．

于是仓库的容积V＝V柱＋V锥＝a2·4h＋a2·h＝a2h＝ (36h－h3)，0<h<6，

从而V′＝ (36－3h2)＝26(12－h2)．

令V′＝0，得h＝2或h＝－2 (舍),当0<h<2时，V′>0，V是单调递增函数；

当2<h<6时，V′<0，V是单调递减函数．故h＝2时，V取得极大值，也是最大值．

因此，当PO1＝2 m时，仓库的容积最大．