Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）若函数在定义域上是增函数，求实数的取值范围；

（Ⅱ）若，令，试讨论函数的零点个数，并说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）.(Ⅱ）见解析

【解析】试题分析：（1）函数在某区间上为增函数就是要求函数的导数在某区间上非负，求出函数的导数，由于含参，所以对参数分类两种情况讨论，当时，导数非负恒成立，当，导数值有正有负有零，不合题意舍；（2）写出函数F(x)并求导，分m=1和m>1两种情况研究，当m=1时，函数单调减，一个零点，当 m>1时，写出函数的单调区间，图象先减后增再减，由于极小值为正，只能当极大值小于零时，才会有一个零点，解出m的范围 .

试题解析：

（Ⅰ）依题意得， ， ，

当时， ，故函数在上单调递增，符合题意；

当时， ，

令，得，函数单调递减，

令，得，函数单调递增，

故函数在上单调递减，在上单调递增，不合题意.

综上所述，实数的取值范围为.

(Ⅱ）（），

易得.

①若，则，函数为减函数，

注意到， ，所以有唯一零点；

②若，则当或时， ，当时， ，

所以函数在和上单调递减，在上单调递增，

注意到， ，所以有唯一零点.

综上，当时，函数有唯一零点.