Question

【题目】某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l2，l1所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y＝ (其中a，b为常数)模型．

(1)求a，b的值；

(2)设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.

①请写出公路l长度的函数解析式f(t)，并写出其定义域；

②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．

Answer 1

【答案】(1) 见解析(2)见解析

【解析】试题分析：（1）由题意知，点M，N的坐标分别为（5，40），（20，2.5），将其分别代入y＝建立方程组，即可求a，b的值；（2）①求出切线l的方程，可得A，B的坐标，即可写出公路l长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；②设g(t)＝t2＋利用导数，确定单调性，即可求出当t为何值时，公路l的长度最短，并求出最短长度．

试题解析：

(1)由题意知，点M，N的坐标分别为(5,40)，(20,2.5)．

将其分别代入y＝，

得解得，

(2)①由(1)知，y＝ (5≤x≤20)，

则点P的坐标为，设在点P处的切线l交x，

y轴分别于A，B点，y′＝－，

则l的方程为

y－＝－ (x－t)，

由此得A，B.

故f(t)＝＝ ，t∈[5,20]．

②设g(t)＝t2＋，则g′(t)＝2t－.

令g′(t)＝0，解得t＝10.

当t∈(5,10)时，g′(t)<0，g(t)是减函数；

当t∈(10，20)时，g′(t)>0，g(t)是增函数．

从而，当t＝10时，函数g(t)有极小值，也是最小值，

所以g(t)min＝300，此时f(t)min＝15.

答　当t＝10时，公路l的长度最短，最短长度为15千米．