Question

【题目】已知椭圆G： 的离心率为，过椭圆G右焦点F的直线m：x＝1与椭圆G交于点M(点M在第一象限)．

(Ⅰ)求椭圆G的方程；

(Ⅱ)已知A为椭圆G的左顶点，平行于AM的直线l与椭圆G相交于B，C两点，请判断直线MB，MC是否关于直线m对称，并说明理由．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)直线MB，MC关于直线m对称，理由见解析.

【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知条件推导出c=1， ，由此能求出椭圆的方程．

（Ⅱ）由已知条件得A(－2,0)，M(1， )，设直线l: ，n≠1．设B（x1，y1），C（x2，y2），由，得x2+nx+n2﹣3=0．再由根的判别式和韦达定理结合已知条件能求出直线MB，MC关于直线m对称．

试题解析：

(Ⅰ)由题意得c＝1,

由＝可得a＝2，

所以b2＝a2－c2＝3,

所以椭圆的方程为＋＝1.

(Ⅱ)由题意可得点A(－2,0)，M(1，)，

所以由题意可设直线l：y＝x＋n，n≠1.

设B(x1，y1)，C(x2，y2)，

由得x2＋nx＋n2－3＝0.

由题意可得Δ＝n2－4(n2－3)＝12－3n2>0，即n∈(－2,2)且n≠1.

x1＋x2＝－n，x1x2＝n2－3

因为kMB＋kMC＝＋

＝＋

＝1＋＋

＝1＋

＝1－＝0，

所以直线MB，MC关于直线m对称.