Question

【题目】如图所示的矩形中， ，点为边上异于， 两点的动点，且， 为线段的中点，现沿将四边形折起，使得与的夹角为，连接， .

（1）探究：在线段上是否存在一点，使得平面，若存在，说明点的位置，若不存在，请说明理由；

（2）求三棱锥的体积的最大值，并计算此时的长度．

Answer 1

【答案】（1）见解析．（2）见解析.

【解析】试题分析：(1) 取线段EF的中点M，易证GM∥DF ，从而得到GM∥平面BDF；(2) 因为CF∥DE，且AE与CF的夹角为60°，故AE与DE的夹角为60°，利用等体积法表示体积，进而得到体积的最大值，及此时DE的长度.

试题解析：

(1)如图所示，取线段EF的中点M，下证GM∥平面BDF；

因为G为线段ED中点，M为线段EF的中点，

故GM为△EDF的中位线，故GM∥DF，

又GM平面BDF，DF平面BDF，故GM∥平面BDF；

(2)因为CF∥DE，且AE与CF的夹角为60°，

故AE与DE的夹角为60°，

过D作DP垂直于AE交AE于P，

因为DE⊥EF，AE⊥EF，故DP为点D到平面ABFE的距离，

设DE＝x，则AE＝BF＝4－x，

由①知GM∥DF，

故VG－BDF＝VM－BDF＝VD－MBF＝·S△MBF·DP＝××x

＝·x≤，

当且仅当4－x＝x时等号成立，此时x＝DE＝2，

故三棱锥G－BDF的体积最大值为，此时DE的长度为2.