Question

已知锐角△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，向量

m

=(sinB，

3

ac)，

n

=(b 2-a2-c2，cosB)，且

m

⊥

n．

（1）求角B的大小；
（2）求sin(B-50°)•[1+

3

tan(B+10°)]的值．

Answer 1

分析：（1）根据

m

•

n

=0，利用向量数量积的坐标运算公式与余弦定理化简，可得accosB（

3

-2sinB）=0．再由△ABC是锐角三角形，算出sinB=

3

2

，从而可得B=60°；
（2）由（1）将B=60°代入，可得原式=sin10°（1+

3

tan70°）．再根据同角三角函数的关系、诱导公式与辅助角公式，化简得1+

3

tan70°=

2cos10°

cos70°

，代入原式并利用二倍角的正弦公式加以计算，可得答案．

解答：解：（1）∵

m

=(sinB，

3

ac)，

n

=(b 2-a2-c2，cosB)，且

m

⊥

n．

∴

m

•

n

=sinB（b²-a²-c²）+

3

accosB=0，
又∵△ABC中，根据余弦定理得b²=a²+c²-2accosB，可得b²-a²-c²=-2accosB，
∴-2acsinBcosB+

3

accosB=0，即accosB（

3

-2sinB）=0．
∵锐角△ABC中，accosB＞0，
∴

3

-2sinB=0，可得sinB=

3

2

，锐角B=60°；
（2）sin(B-50°)•[1+

3

tan(B+10°)]=sin10°（1+

3

tan70°）
∵1+

3

tan70°=1+

3

•

sin70°

cos70°

=

3 sin70°+cos70°

cos70°

=

2sin(70°+30°)

cos70°

=

2sin100°

cos70°

=

2sin(90°+10°)

cos70°

=

2cos10°

cos70°

，
∴sin10°（1+

3

tan70°）=

2sin10°cos10°

cos70°

=

sin20°

cos70°

=

sin(90°-70°)

cos70°

=

cos70°

cos70°

=1．
因此，sin(B-50°)•[1+

3

tan(B+10°)]的值为1．

点评：本题以向量数量积运算为载体，着重考查了同角三角函数的关系与诱导公式、二倍角的正弦公式与辅助角公式，考查了利用余弦定理解三角形的知识，属于中档题．