Question

5．已知圆C：x²+y²-6x-4y+4=0，点P（6，0）．
（1）求过点P且与圆C相切的直线方程l；
（2）若圆M与圆C外切，且与x轴切于点P，求圆M的方程．

Answer 1

分析 （1）设切线l的方程为x=λy+6，由点到直线的距离公式得$\frac{|3-2λk-6|}{{\sqrt{1+{λ^2}}}}=3$，解得λ=$\frac{12}{5}$或λ=0，即可求过点P且与圆C相切的直线方程l；
（2）设圆心M（6，b），则半径r=|b|，要使圆M与圆C外切，则须有：|MC|=3+|b|，求出b，即可求圆M的方程．

解答 （1）解：圆C化为标准方程是（x-3）²+（y-2）²=9…（1分）
故圆心坐标为C（3，2）半径r=3．
设切线l的方程为x=λy+6…（2分）
即x-λy-6=0，由点到直线的距离公式得$\frac{|3-2λk-6|}{{\sqrt{1+{λ^2}}}}=3$，解得λ=$\frac{12}{5}$或λ=0．
所以切线l的方程为  5x-12y-30=0或x=6…（5分）
（2）设圆心M（6，b），则半径r=|b|
∴要使圆M与圆C外切，则须有：|MC|=3+|b|…（8分）
∴$\sqrt{{{（6-3）}^2}+{{（b-2）}^2}}=|b|+3$化简得4b+6|b|=4解得$b=\frac{2}{5}$或b=-2
所以圆M的方程为${（x-6）^2}+{（y-\frac{2}{5}）^2}=\frac{4}{25}$或（x-6）²+（y+2）²=4．…（10分）

点评 本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查点到直线距离公式的运用，属于中档题．