Question

17．若不等式x²+a|x|+1≥0对x∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}}$]恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． [-2，+∞）
• B． [-2，2]
• C． （-∞，-2]
• D． [-$\frac{5}{2}$，+∞）

Answer 1

分析 通过讨论x的范围，去掉绝对值号，分离参数a，结合函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：x²+a|x|+1≥0对x∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}}$]恒成立，
x=0时，显然成立，a∈R；
x∈（0，$\frac{1}{2}}$]，等价于a≥-（x+$\frac{1}{x}$），
令f（x）=-（x+$\frac{1}{x}$），x∈（0，$\frac{1}{2}$），
f′（x）=-（1-$\frac{1}{{x}^{2}}$）=$\frac{（1-x）（1+x）}{{x}^{2}}$＞0，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{2}$]递增，f（x）_max=f（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{5}{2}$，
故a≥-$\frac{5}{2}$；
x∈[-$\frac{1}{2}$，0）时，等价于a≥x+$\frac{1}{x}$，
令g（x）=x+$\frac{1}{x}$，x∈[-$\frac{1}{2}$，0），
g′（x）=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{（x+1）（x-1）}{{x}^{2}}$＜0，
g（x）在[-$\frac{1}{2}$，0）递减，
∴g（x）的最大值是g（-$\frac{1}{2}$）=-$\frac{5}{2}$，
故a≥-$\frac{5}{2}$；
故选：D．

点评 本题考查了不等式的解法，考查分类讨论思想，是一道中档题．