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设函数f(x)=
1
x
,g(x)=ax2+bx,若y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点,则当b∈(0,1)时,实数a的取值范围为
(-
2
3
9
2
3
9
)
(-
2
3
9
2
3
9
)
分析:画出函数的图象,利用函数的图象的对称性,结合对字母a进行分类讨论,不难推出结论.
解答:解:当a>0时,作出两个函数的图象,如图,
则当b∈(0,1)时,函数f(x)=
1
x
,g(x)=ax2+bx,若y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点,故考虑当b=1时,两个函数图象有且仅有两个不同的公共点,如图.
由方程
1
x
=ax2+x,得ax3=1-x2,两边求导,得3ax2=-2x,∴a=-
2
3x

∴-
2
3x
×x3=1-x2,解得x=
3

∴a=-
2
3
3
=-
2
3
9

结合图象可知,当a>0时,
当b∈(0,1)时,实数a的取值范围为(0,
2
3
9
)

同理,当a<0时,实数a的取值范围为(0,
2
3
9
)

当b∈(0,1)时,实数a的取值范围为(-
2
3
9
,0)

又当a=0时,函数f(x)=
1
x
,g(x)=bx,的图象有且仅有两个不同的公共点.
故答案为:(-
2
3
9
2
3
9
)
点评:本题考查的是函数图象,直接利用图象判断,利用了构造函数的方法,利用函数与导数知识求解.要求具有转化、分析解决问题,由一般到特殊的能力.题目立意较高,很好的考查能力.
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x
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