Question

10．已知A，B，C，D四点共面，BC=2，AB²+AC²=20，$\overrightarrow{CD}=3\overrightarrow{CA}$，则|$\overrightarrow{BD}$|的最大值为10．

Answer 1

分析 建立坐标系，设C（0，0），B（2，0），D（x，y）求出D点轨迹即可得出BD的最大距离．

解答 解：以C为原点，以直线CB为x轴建立平面坐标系，
设B（2，0），D（x，y），∵$\overrightarrow{CD}=3\overrightarrow{CA}$，∴A（$\frac{x}{3}$，$\frac{y}{3}$）．
∵AB²+AC²=20，
∴（$\frac{x}{3}$-2）²+$\frac{{y}^{2}}{9}$+$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=20，
∴（x-3）²+y²=81，
∴点D在以E（3，0），以r=9为半径的圆E上，
∴BD的最大距离为BE+r=10．
故答案为：10．

点评 本题考查了平面向量在几何中的应用，轨迹方程的求解，属于中档题．