Question

已知顶点在坐标原点，焦点在x轴正半轴的抛物线上有一点A(，m)，A点到抛物线焦点的距离为1．
(1)求该抛物线的方程；
(2)设M(x₀，y₀)为抛物线上的一个定点，过M作抛物线的两条互相垂直的弦MP，MQ，求证：PQ恒过定点(x₀＋2，－y₀)．

Answer 1

（1）y²＝2x   （2）见解析

(1)由题意可设抛物线的方程为y²＝2px(p>0)，则由抛物线的定义可得＋＝1，即p＝1，
∴抛物线的方程为y²＝2x．
(2)证明：由题意知，直线PQ与x轴不平行，设PQ所在直线方程为x＝ay＋n，代入y²＝2x得y²－2ay－2n＝0．
设P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，则y₁＋y₂＝2a，y₁y₂＝－2n，
∵MP⊥MQ，∴k_MP·k_MQ＝－1．
即·＝－1，∴(y₁＋y₀)(y₂＋y₀)＝－4．
即y₁·y₂＋(y₁＋y₂)y₀＋y₀²＋4＝0，
即(－2n)＋2ay₀＋2x₀＋4＝0，即n＝ay₀＋x₀＋2．
∴直线PQ的方程为x＝ay＋ay₀＋x₀＋2，
即x＝a(y＋y₀)＋x₀＋2，它一定过定点(x₀＋2，－y₀)．