Question

设函数f（x）=x-ae^x，a∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）单调区间；
（Ⅱ）若?x∈R，f（x）≤0成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）已知函数f（x）=x-ae^x，对其进行求导，利用导数研究其单调区间；
（Ⅱ）若对?x∈R，f（x）≤0成立，只要f（x）的最大值小于等于0即可，利用导数研究函数的最值问题，从而求解；

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=1-ae^x．                            …（1分）
当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在R上是增函数．         …（3分）
当a＞0时，令f′（x）=0，得x=-lna．                …（4分）
若x＜-lna则f′（x）＞0，从而f（x）在区间（-∞，-lna）上是增函数；
若x＞-lna则f′（x）＜0，从而f（x）在区间（-lna，+∞）上是减函数．
综上可知：当a≤0时，f（x）在区间（-∞，+∞）上是增函数；
当a＞0时，f（x）在区间（-∞，-lna）上是增函数，在区间（-lna，+∞）上是减函数．
…（9分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：当a≤0时，f（x）≤0不恒成立．
又因为当a＞0时，f（x）在区间（-∞，-lna）上是增函数，在区间（-lna，+∞）上是减函数，所以f（x）在点x=-lna处取最大值，
且f（-lna）=-lna-ae^-lna=-lna-1．    …（11分）
令-lna-1≤0，得a≥

1

e

，
故f（x）≤0对x∈R恒成立时，a的取值范围是[

1

e

，+∞)．…（14分）

点评：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，此题是一道中档题；